志第八 歷二

▲大統(tǒng)歷法一上法原

造歷者各有本原,史宜備錄,使后世有以考。如《太初》之起數(shù)鐘律,《大衍》之造端蓍策,皆詳本志�！妒跁r(shí)歷》以測(cè)算術(shù)為宗,惟求合天,不牽合律呂、卦爻。然其法所以立,數(shù)之所從出,以及晷影、星度,皆有全書(shū)。郭守敬、齊履謙傳中,有書(shū)名可考�！�元史》漫無(wú)采摭,僅存李謙之《議祿》、《歷經(jīng)》之初稿。其后改三應(yīng)率及立成之?dāng)?shù),與夫割圓弧矢之法,平立定三差之原,盡削不載。使作者精意湮沒(méi),識(shí)者憾焉。今據(jù)《大統(tǒng)因通軌》及《歷草》諸書(shū),稍為編次,首法原,次立成,次推步。而法原之目七:曰句股測(cè)望,曰弧矢割圓,曰黃赤道內(nèi)外度,曰白道交周,曰日月五星平立定三差,曰里差刻漏。

▲句股測(cè)望

北京立四丈表,冬至日午正,測(cè)得景辰七丈九尺八寸五分。隨以簡(jiǎn)儀測(cè)到太陽(yáng)南至地平二十六度四十六分半,為半弧背。求得矢度,五度九十一分半。置周天半徑,截矢余五十四度九十六分為股,乃本地支戴日下之度。以弦股別句術(shù),求得句二十六度一下七分六十六秒,為日出地半弧弦。

北京立四丈表,夏至日午正,測(cè)得景長(zhǎng)一丈一尺七寸一分。隨以簡(jiǎn)儀測(cè)到太陽(yáng)南至地平七十四度二十六分半,為半弧背。求得矢度,四十三度七十四分少。置周天半徑,截矢余一十七度一十三分二十五秒為句,乃本地去戴日下之度。以句弦別股術(shù),求得股五十八度四十五分半,為日出地半弧弦。

以二至日度相并,得一百度七十三分,折半得五十度三十六分半,為北京赤道出地度。以赤道出地度轉(zhuǎn)減周天四之一,余四十度九十四分九十三秒七十五微,為北京北極出地度。

▲弧矢割圓

周天經(jīng)一百二十一度七十五分少。少不用。半徑六十零度八十七分半。又為黃赤道大弦。二至黃赤道內(nèi)外半弧背二十四度。所測(cè)就整。二至黃赤道弧矢四度八十四分十二秒。黃赤道大句二十三度八十分七十秒。黃赤道大股五十六度零二分六十八秒。半徑內(nèi)減去矢度之?dāng)?shù)。

割圓求矢術(shù) 置半弧度自之,為半弧背幕,周天徑自之,為上廉。上廉乘半弧背幕,為正實(shí)。上廉乘徑,為益從方。半弧背倍之,乘徑,為下廉。以初商乘上廉,得數(shù)以減益從方,余為從方。置初商自之以下廉,余以初商乘之,為從廉。從方、從廉相并,為下法。下法乘初商,以減正實(shí),實(shí)不足減,改初商。實(shí)有不盡,次第商除之。倍初商數(shù),與次商相并以乘上廉,得數(shù)以減益從方,余為從方。并初商次商而自之,又以初商自之,并二數(shù)以減下廉,余以初商倍數(shù)并次商乘之,為從廉。從方、從廉相并,為下法。下法乘次商,以減余實(shí),而定次商。有不盡者,如法商之,皆以商得數(shù)為矢度之?dāng)?shù)。黃赤道同用。

如以半弧背一度求矢。術(shù)曰:置半弧背一度自之,得一度,為半弧幕。置周天徑一百二十一度太自之,得一萬(wàn)四千八百二十三度零六分二十五秒,為上廉。上廉乘半弧背幕,得一萬(wàn)四千八百二十三度零六分二五,為正實(shí)。上廉又乘徑,得一百八十零萬(wàn)四千七百零七度八十五分九十三秒七五,為益從方。半弧背一度倍之,得二度,以乘徑得二百四十三度五十分,為下廉。初商八十秒。置初商八十秒乘上廉一萬(wàn)四千八百二十三度零六二五,得一百一十八度五八四五,以減益從方一百八十零萬(wàn)四千七百零七度八五九三七五,余一百八十零萬(wàn)四千五百八十九度二七四八七五,為從方。又置初商八十秒自之,得六十四微,以減下廉余二百四十三度四九九三六。仍以八十秒乘之,得一度九四七九九九四八八,為從廉。以從廉、從方并之,共得一百八十零萬(wàn)四千五百九十一度二二二八七四四八八,為下法。下法乘初商,得一萬(wàn)四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九零四,以減正實(shí),余實(shí)三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。次商二秒。置初商八十秒倍之,得一分六十秒。加次商二委六十二秒,乘上廉一萬(wàn)四千八百二十三度零六二五,得二百四十零度一三三六一二五,以減益從方,余一百八十零萬(wàn)四千四百六十七二五七六二五,為從方。又置初次商八十二秒自之,得六十七微。加初商八十秒自之之?dāng)?shù),得一秒三十一微,以減下廉,余二百四十三度四九九八六九。以前所得一分六十二秒乘之,得三度九十四分四六九七八七七八,為從廉。以從廉、從方并,得一百八十零萬(wàn)四千四百七十一度六十七分零四六零三七八,為下法。下法乘次商,得三百六十零度八九四三三四零九二零七五五六,以減余實(shí),仍余二十五度四三八三八二九一二零二零四四。不足一秒葉不用,下同。

凡求得矢度八十二秒,余度各如上法,求到矢度,以為黃赤相求及其內(nèi)外度之根。數(shù)詳后。

▲黃赤道差

求黃赤道各度下赤道積度術(shù)。 置周天半徑內(nèi)減去黃道矢度,余為黃赤道小弦。置黃赤道小弦,以黃赤道大股乘之大股見(jiàn)割圓為實(shí)。黃赤道大弦半徑為法。實(shí)如法而一,為黃赤道小股。直黃道矢自乘為實(shí),以周天全徑為法,實(shí)如法而一,為黃道半背弦差。以差去減黃赤道積度,即黃道半弧背。余為黃道半弧弦。置黃赤道半弧弦自之為股幕,黃赤道小股自之為句幕,二幕并之,以開(kāi)平方法除之,為赤道小弦。置黃赤道半弧弦,以周天半徑亦為赤道大弦乘之為實(shí),以赤道小弦為法而一,為赤道半弧弦。置黃赤道小股,亦為赤道橫小句以赤道大弦即半徑乘之為實(shí),以赤道小弦為法而一,為赤道橫大句,以減半徑,余為赤道磺弧矢。橫弧矢自之為實(shí),以全徑為法而一,為赤道半背弦差。以差加赤道半弧,為赤道積度。

如黃道半弧背一度,求赤道積度。術(shù)曰:“置半徑六十零度八十七分五十秒,即黃赤道大弦。內(nèi)減黃道矢八十二秒余六十零度八六六八,為黃赤道小弦。置黃赤道小弦,以黃赤道大股五十六度零二六八乘之,得三千四百一十零度一七二零三零二四為實(shí),以黃赤道大弦六十零度八七五為法,實(shí)如法而一,得五十六度零一分九十二秒,為黃赤道小股。又為赤道小句。置矢度八十二秒自之,得六十七微,以全徑一百二十一度七五為法,除之得五十五纖,為黃道平半背弦差。置黃道半弧弦一度,內(nèi)減黃道半背弦差,余為半弧弦,因因差在微以下不減,即用一度為半弧弦。置黃道半弧弦一度自之,得一度為股幕。黃赤道小股五十六度零一矣二自之,得三千一百三十八度一五零七六八六四為句幕。二幕并得三千一百三十九度一五零七六八六四為弦實(shí),平方開(kāi)之,得五十六度零二八一,為赤道小弦。置黃道半弧弦一度,以半徑即赤道大弦乘之,得六十零度八七五為實(shí),以赤道小股五十六度零二八一為法除之,得一度零八分六十五秒,為赤道半弧弦。置黃赤道小股五十六度零一九二,又為赤道小句。以赤道大弦半徑六十零度八七五乘之,得三千四百一十零度一六八八為實(shí),以赤道小弦為法除之,得六十零度八十六分五十三秒,為赤道橫大句。置半徑六十零度八十七分五十秒,內(nèi)減赤道大句六十零度八十六分五十三秒,余九十七秒,為赤道橫弧矢。置赤道橫弧矢九十七秒自之,得九十四微零九,以全徑為法除之,得七十纖,為赤道背弦差。置赤道半弧弦一度零八分六十五秒,加赤道背弦差,為赤道積度,今差在微已下不加,即用半弧弦為積度。

凡求得赤道積度一度零八分六十五秒。余度各如上法,求到各黃道度下赤道積,兩數(shù)相減,即得黃赤道差,乃至后之率。其分后,以赤道度求黃道,反此求之,其數(shù)并同。

▲黃赤道相求弧矢諸率立成上

表格略

▲黃赤道相求弧矢諸率立成下

表格略

按郭敬創(chuàng)法五端,內(nèi)一曰黃道差,此其根率也。舊法以一百一度相減乘�！妒跁r(shí)》立術(shù),以句股、弧矢、方圓、斜直所容,求其數(shù)差,合於渾象之理,視古為密。顧《至元?dú)v經(jīng)》所載略,又誤以黃道矢度為積差,黃道矢差為率,今正之。

▲割圓弧矢圖

凡渾圓中剖,則成平圓。任割平圓之一分,成弧矢形,皆有弧背,有弧弦,有矢。剖弧矢形而半之,則有半弧背,有半弧弦,有矢。因弦矢句股形,以半弧弦為句,矢減半徑之余為股,半徑為弦。句股內(nèi)成小句股,則有小句、小股、小弦、而大小可互求,平側(cè)可互用,渾圓之理,斯為密近。

平者為赤道,斜者為黃道。因二至黃道赤之距,生大句股。因各度黃赤之距,生小句股。

外大圓為赤道。從北極平視,則黃道在赤道內(nèi),有赤道各度,即各有其半弧弦,以生大名股。又各有其相當(dāng)之黃道半弧弦,以生小句股。此二者皆可互求。

按舊史無(wú)圖,然表亦圖之屬也。今句股割弧矢之法,實(shí)為歷家測(cè)算之本。非圖不明,因存其要者數(shù)端。

▲黃赤道內(nèi)外度

推黃道各度,距赤道內(nèi)外及去極遠(yuǎn)近術(shù)。置半徑內(nèi)減去赤道小弦,余為赤道二弦差。又為黃赤道小弧矢,又為內(nèi)外矢,又為股弦差。置半徑內(nèi)外減去黃道矢度,余為黃赤道小弦,以二至黃赤道內(nèi)外半弧弦乘之為實(shí),以黃赤道大弦為法,即半徑。除之為黃赤道小弧弦。即黃赤道內(nèi)外半弧弦,又為黃赤道小句。置黃赤道小弧矢自之,即赤道二弦差。以全徑除之,為半背弦差。以差加黃赤道小弧弦為黃赤道小弧半背,即黃赤道內(nèi)外度。置黃赤道內(nèi)外度,視在盈初縮末限以加,在縮初盈天限以減,皆加減象限度,即各得太陽(yáng)去北極度分。

如冬至后四十四度,求太陽(yáng)去赤道內(nèi)外及去極度。術(shù)曰:“置半徑六十零度八十七分半,內(nèi)減黃道四十四度下赤道小弦五十八度三十五分六十九秒,余二度五十一分八十一秒,為黃赤道小弧矢。即內(nèi)外矢。置半徑六十零度八七五,內(nèi)減黃道四十四度,矢一十六度五十六分八十二秒,余四十四三十零分六十八秒,為黃赤道小弦。置黃赤道小弦,以二至黃赤道內(nèi)外半弧弦二十三度七十一分乘之,得一千零五十零度五十一分四二三八為實(shí),以黃赤道大弦六十零度八七五為法除之,得一十七度二十五分十九秒為黃赤道小弧弦。即內(nèi)外半弧弦。置黃赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自之為實(shí),以全徑地百二十一度七十五分除之,得五分二十一秒為背弦差,以差加黃赤道小弧弦一十七度二十五分六十九秒,得一十七度三十零分八十九秒,為二至前后四十四度,太陽(yáng)去赤道內(nèi)外度。置象限九十一度三十一分四十三秒七五,以內(nèi)外度一十七度三零八九加之,得一百零八度六十二分三十二秒七五,為冬至后四十四度太陽(yáng)去北極度。

▲黃道每度去赤道內(nèi)外及去北極立成

表格略

▲白道交周

推白赤道正交,距黃赤道正交北極數(shù)。術(shù)曰:“置實(shí)測(cè)白道出入黃道內(nèi)外六度為半徑弧弦,又為大圖弧矢,又為股弦差。置半徑六十零度七五自之,得三千七百零五度七六五六二五,以矢六度而一,得六百一十七度六十三分為股弦和,加矢六度,共六百二十三度六十三分為大圓徑。依法求得容闊五度七十分,又為小句。又以二至出入半弧弦二十三度七十一分為大句。以大句為法,除大股五十六度零六分五十秒,得二度三十七分就整為度差。以度差乘小句,得小股一十三度四十七分八十二秒,為容半長(zhǎng)。置半徑六十零度八七五為大弦,以乘小句五度七十分為實(shí),以大句二十三度七十一分為法除之,得一十四度六十三分為小弦,又為白赤道正交,距黃赤道正交半弧弦。 依法求行半弧背一十四度六十六分,為白赤道正交距黃赤道正交極婁數(shù)。